已知等差数列{an}满足a3+a4=9，a2+a6=10；又数列{bn}满足nb1+（n-1）b2+…+2bn-1+bn=Sn，其中Sn是首项为1，公比为89的等比数列的前n项和．（1）求an的表达式；（2）若cn=-anbn，试问-数学试题及答案

1、试题题目：已知等差数列{an}满足a3+a4=9，a2+a6=10；又数列{bn}满足nb1+（n-..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-06 07:30:00

试题原文

已知等差数列{a_n}满足a₃+a₄=9，a₂+a₆=10；又数列{b_n}满足nb₁+（n-1）b₂+…+2b_n-1+b_n=S_n，其中S_n是首项为1，公比为

8

9

的等比数列的前n项和．
（1）求a_n的表达式；
（2）若c_n=-a_nb_n，试问数列{c_n}中是否存在整数k，使得对任意的正整数n都有c_n≤c_k成立？并证明你的结论．

试题来源：河西区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₃+a₄=9，a₂+a₆=10，
∴

a1+2d+a1+3d=9

a1+d+a1+5d=10

，解得

a1=2

d=1

，
∴a_n=2+1×（n-1）=n+1．
（2）∵S_n是首项为1，公比为

8

9

的等比数列的前n项和，
∴nb₁+（n-1）b₂+…+2b_n-1+b_n=(

8

9

)n-1+(

8

9

)n-2+…+

8

9

+1，①
（n-1）b₁+（n-2）b₂+…+2b_n-2+b_n-1=(

8

9

)n-2+(

8

9

)n-3+…+

8

9

+1，②
①-②得b₁+b₂+…+b_n=(

8

9

)n-1，即Tn=b1+b2+…+bn=(

8

9

)n-1．
当n=1时，b₁=T_n=1，
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=(

8

9

)n-1-(

8

9

)n-2=-

1

9

×(

8

9

)n-2．
∴bn=

b1，当n=1时

-

1

9

×(

8

9

)n-2，当n≥2时

．．
于是c_n=-a_nb_n

-2，当n=1时

1

9

×(

8

9

)n-2×(n+1)，当n≥2时

．
设存在正整数k，使得对?n∈N^*，都有c_n≤c_k恒成立．
当n=1时，c2-c1=

7

3

，即c₂＞c₁．
当n≥2时，cn+1-cn=

1

9

×(

8

9

)n-1(n+2)-

1

9

×(

8

9

)n-2(n+1)
=

1

9

×(

8

9

)n-2[

8

9

(n+2)-(n+1)]=(

8

9

)n-2×

7-n

81

．
∴当n＜7时，c_n+1＞c_n；
当n=7时，c₈=c₇；
当n＞7时，c_n+1＜c_n．
∴存在正整数k=7或8，使得对?n∈N^*，都有c_n≤c_k恒成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知等差数列{an}满足a3+a4=9，a2+a6=10；又数列{bn}满足nb1+（n-..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：