已知点（1，13）是函数f（x）=ax（a＞0），且a≠1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）-c，数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=Sn+Sn-1（n≥2）．（1）求数列{an}和{-数学试题及答案

1、试题题目：已知点（1，13）是函数f（x）=ax（a＞0），且a≠1）的图象上一点，等..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-07 07:30:00

试题原文

已知点（1，

1

3

）是函数f（x）=a^x（a＞0），且a≠1）的图象上一点，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，数列{b_n}（b_n＞0）的首项为c，且前n项和S_n满足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若数列{

1

bnbn+1

}前n项和为T_n，问T_n＞

1000

2009

的最小正整数n是多少？

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知f（1）=a=

1

3

，∴f（x）=(

1

3

)x，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c=(

1

3

)-nc，
∴a₁=f（1）=

1

3

-c，a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-

2

9

，a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-

2

27

数列{a_n}是等比数列，应有

a2

a1

=

a3

a2

=q，解得c=1，q=

1

3

．
∴首项a₁=f（1）=

1

3

-c=-

2

3

∴等比数列{a_n}的通项公式为an=(-

2

3

) (

1

3

)n-1=-2(

1

3

)n．
（2）∵S_n-S_n-1=(

Sn

-

Sn-1

)(

Sn

+

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）
又b_n＞0，

Sn

＞0，∴

Sn

-

Sn-1

=1；
∴数列{

Sn

}构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
∴

Sn

=1+（n-1）×1=n
∴S_n=n²
当n=1时，b₁=S₁=1，
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
又n=1时也适合上式，
∴{b_n}的通项公式b_n=2n-1．
（2）

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)×(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

由Tn＞

1000

2009

，得

n

2n+1

＞

1000

2009

，n＞

1000

9

，
故满足Tn＞

1000

2009

的最小正整数为112．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知点（1，13）是函数f（x）=ax（a＞0），且a≠1）的图象上一点，等..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：