已知数列{an}满足a1=12，an=n2n2-1an-1+n2n+1（n≥2，n∈N*），数列{bn}的前n项和Sn，满足：Sn=23(bn-1)．（I）求数列{an}、{bn}的通项公式an，bn；（II）设cn=2nan，①求数列{bncn}前n-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足a1=12，an=n2n2-1an-1+n2n+1（n≥2，n∈N*），数列{..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-07 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a₁=

1

2

，a_n=

n2

n2-1

an-1+

n2

n+1

（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}的前n项和Sn，满足：Sn=

2

3

(bn-1)．
（I）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式a_n，b_n；
（II）设cn=

2

n

an，①求数列{b_nc_n}前n项的和Tn，②求数列

1

coscncoscn+1

前n项的和A_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）因为a_n=

n2

n2-1

an-1+

n2

n+1

（n≥2，n∈N^*），
所以

n+1

n

an-

n

n-1

an-1=n，设dn=

n+1

n

an，
则d_n-d_n-1=n（n≥2，n∈N^*），d₁=1，
由累加法可得：dn=

n(n+1)

2

，故an=

1

2

n2
∵Sn=

2

3

(bn-1) ①，∴Sn+1=

2

3

(bn+1-1) ②
②-①得Sn+1-Sn=

2

3

(bn+1-bn)=b_n+1，∴b_n+1=-2b_n
把n=1代入①式可得b₁=-2，
∴bn=(-2)n
（II）由（I）可知cn=

2

n

an=

2

n

1

2

n2=n
①b_nc_n=n?（-2）ⁿ
∴Tn=1?(-2)+2?(-2)2+3?(-2)3+…+n?（-2）ⁿ
-2Tn=1?(-2)2+2?(-2)3+3?(-2)4+…+n?（-2）ⁿ⁺¹
两式相减得：3Tn=1?(-2)+(-2)2+(-3)3+…+（-2）ⁿ-n?（-2）ⁿ⁺¹
=

-2[1-(-2)N]

1-(-2)

-n?(-2)n+1=-

2

3

[1-(-2)n]-n?(-2)n+1
故所求数列的前n项和为：Tn=-

2

9

-

3n+1

9

(-2)n+1
②∵sin1=sin[（n+1）-n]=sin（n+1）cosn-cos（n+1）sinn
∴

1

coscncoscn+1

=

sin1

sin1cosncos(n+1)

=

sin(n+1)cosn-cos(n+1)sinn

sin1cosncos(n+1)

=

1

sin1

[tan(n+1)-tann]
故所求数列的前n项和为：
A_n=

1

sin1

[（tan2-tan1）+（tan3-tan2）+…+（tan（n+1）-tann）]
=

1

sin1

[tan（n+1）-tann]

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a1=12，an=n2n2-1an-1+n2n+1（n≥2，n∈N*），数列{..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：