已知a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，…（1）证明：数列{lg（1+an）}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）记bn=1an+1an+2，求数列{bn}的前n项和S-数学试题及答案

1、试题题目：已知a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n=1，2，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-08 07:30:00

试题原文

已知a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+2x的图象上，其中n=1，2，3，…
（1）证明：数列{lg（1+a_n）}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=

1

an

+

1

an+2

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：由已知an+1=

a

2n

+2an，∴an+1+1=(an+1)2，
∵a₁=2，∴a_n+1＞1，两边取对数得 lg（1+a_n+1）=2lg（1+a_n），即

lg(1+an+1)

lg(1+an)

=2，
∴{lg（1+a_n）}是公比为2的等比数列．
∴lg(1+an)=2n-1?lg(1+a1)=2n-1?lg3=lg32n-1，
∴1+an=32n-1（*）．
由（*）式得an=32n-1-1．
（2）∵an+1=

a

2n

+2an，
∴a_n+1=a_n（a_n+2），
∴

1

an+1

=

1

2

(

1

an

-

1

an+2

)，
∴

1

an+2

=

1

an

-

2

an+1

，
又bn=

1

an

+

1

an+2

，
∴bn=2(

1

an

-

1

an+1

)．
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=2(

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

)
=2(

1

a1

-

1

an+1

)．
∵an=32n-1-1，a1=2，an+1=32n-1，
∴Sn=1-

2

32n-1

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n=1，2，..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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