数列{an}的前n项和记为Sn，a1=t，点（Sn，an+1）在直线y=2x+1上，n∈N*．（1）若数列{an}是等比数列，求实数t的值；（2）设bn=nan，在（1）的条件下，求数列{bn}的前n项和Tn；（3）设各项-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}的前n项和记为Sn，a1=t，点（Sn，an+1）在直线y=2x+1上，n..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-08 07:30:00

试题原文

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=t，点（S_n，a_n+1）在直线y=2x+1上，n∈N^*．
（1）若数列{a_n}是等比数列，求实数t的值；
（2）设b_n=na_n，在（1）的条件下，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设各项均不为0的数列{c_n}中，所有满足c_i?c_i+1＜0的整数i的个数称为这个数列{c_n}的“积异号数”，令cn=

bn-4

bn

（n∈N^*），在（2）的条件下，求数列{c_n}的“积异号数”．

试题来源：肇庆二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意可得，当n≥2时，有

an+1=2Sn+1

an=2Sn-1+1

，（1分）
两式相减，得 a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n （n≥2），（2分）
所以，当n≥2时，{a_n}是等比数列，要使n≥1时{a_n}是等比数列，
则只需

a2

a1

=

2t+1

t

=3，从而得出t=1．（4分）
（2）由（1）得，等比数列{a_n}的首项为a₁=1，公比q=3，∴an=3n-1．（5分）
∴bn=nan=n?3n-1，（6分）
∴Tn=1×30+2×31+3×32+…+(n-1)?3n-2+n?3n-1，①（7分）
上式两边乘以3得3Tn=1×31+2×32+3×33+…+(n-1)?3n-1+n?3n②，（8分）
①-②得-2Tn=30+31+32+…+3n-1-n?3n，（9分）
∴Tn=

2n-1

4

?3n+

1

4

．（10分）
（3）由（2）知bn=n?3n-1，∵cn=1-

4

bn

，
∵c1=1-

4

1

=-3，c2=1-

4

2×3

=

1

3

，∴c₁c₂=-1＜0．（11分）
∵cn+1-cn=

4

bn

-

4

bn+1

=

4(2n+3)

n(n+1)?3n

＞0，∴数列{c_n}递增．（12分）
由c2=

1

3

＞0，得当n≥2时，c_n＞0．（13分）
∴数列{c_n}的“积异号数”为1．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}的前n项和记为Sn，a1=t，点（Sn，an+1）在直线y=2x+1上，n..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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