已知函数f（x）=lnx-x+1（x∈[1，+∞）），数列{an}满足a1=e，an+1an=e(n∈N*)．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）求f（a1）+f（a2）+…+f（an）；（3）求证：1?2?3?…?n≤en(n-1)2(n∈N*)．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx-x+1（x∈[1，+∞）），数列{an}满足a1=e，an+1an=e(..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-10 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx-x+1（x∈[1，+∞）），数列{a_n}满足a1=e，

an+1

an

=e(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）；
（3）求证：1?2?3?…?n≤e

n(n-1)

2

(n∈N*)．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵

an+1

an

=e，∴{a_n}是等比数列，又a₁=e，∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=eⁿ．
（2）由（1）知，f（a_n）=lneⁿ-eⁿ+1=（n+1）-eⁿ，
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）=[2+3+…+（n+1）]-（e+e²+…+eⁿ）
=

n2+3n

2

-

e-en+1

1-e

．
（3）由函数f（x）=lnx-x+1，得f′(x)=

1

x

-1，又x≥1，∴f'（x）≤0，
∴f（x）递减，∴f（x）≤f（1），
即f（x）≤0，也就是lnx≤x-1，
于是：ln1+ln2+…+lnn≤0+1+…+（n-1），
即ln(1?2?3?…?n)≤

n(n-1)

2

，
故1?2?3…?n≤e

n(n-1)

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx-x+1（x∈[1，+∞）），数列{an}满足a1=e，an+1an=e(..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的通项公式”。

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