已知数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，数列{Sn+1}是公比为2的等比数列．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）数列{Sn}中是否存在不同的三项Sm，Sn，Sk，使得Sm，Sn，Sk为等差数列？若-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，数列{Sn+1}是公比为2的等..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-10 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，数列{S_n+1}是公比为2的等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{S_n}中是否存在不同的三项S_m，S_n，S_k，使得S_m，S_n，S_k为等差数列？若存在，请求出满足条件的一组m，n，k的值；若不存在，请说明理由．

试题来源：泉州模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）S₁=a₁=1，S₁+1=a₁+1=2．
因为数列{S_n+1}是公比为2的等比数列，所以Sn+1=(S1+1)?2n-1=2?2n-1=2n．
故Sn=2n-1．…（3分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-2n-1=2n-1，
当n=1时，经检验，an=2n-1也成立，
故an=2n-1．…（6分）
（Ⅱ）数列{S_n}中不存在不同的三项S_m，S_n，S_k，使得S_m，S_n，S_k为等差数列．…（7分）
理由如下：假设{S_n}中存在等差数列S_m，S_n，S_k，不失一般性，不妨设S_m＜S_n＜S_k，即m＜n＜k，
则2S_n=S_m+S_k，…（9分）
由（I），Sn=2n-1，Sm=2m-1，Sk=2k-1．
故2?2ⁿ-2=2^m-1+2^k-1，即2ⁿ⁺¹=2^m+2^k，即2^n+1-m=1+2^k-m，
由m＜n＜k知，上式左边为偶数，右边为奇数，不可能相等．…（11分）
故假设错误，从而数列{S_n}中不存在不同的三项S_m，S_n，S_k，使得S_m，S_n，S_k为等差数列．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，数列{Sn+1}是公比为2的等..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：