如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O于点E．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；（3）作CF⊥A-数学试题及答案

1、试题题目：如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-05-23 07:30:00

试题原文

如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O于点E．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；
（3）作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G（如图2），求FG FC 的值．

试题来源：湖北省中考真题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：初中考察重点：直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
又∵∠CBD=∠BA，
∴∠ABC+∠CBD=90°，
∴∠ABD=90°，
∴OB⊥BD，
∴BD为⊙O的切线；
（2）证明：连CE、OC，BE，如图，
∵OE=ED，∠OBD=90°，
∴BE=OE=ED，
∴△OBE为等边三角形，
∴∠BOE=60°，
又∵AC∥OD，
∴∠OAC=60°，
又∵OA=OC，
∴AC=OA=OE，
∴AC∥OE且AC=OE，
∴四边形OACE是平行四边形，
而OA=OE，
∴四边形OACE是菱形；
（3）解：∵CF⊥AB，
∴∠AFC=∠OBD=90°，
而AC∥OD，
∴∠CAF=∠DOB，
∴Rt△AFC∽Rt△OBD，

又∵FG∥BD，
∴△AFG∽△ABD，

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙..”的主要目的是检查您对于考点“初中直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）”。

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