已知函数f（x）=2x，x∈R．（1）若存在x∈[-1，1]，使得f(x)+af(x)＞2成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（2x）+（a-1）f（x）＞a；（3）若f（x1）+f（x2）=f（x1）f（x2），f（x1）+f（x2）+f-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=2x，x∈R．（1）若存在x∈[-1，1]，使得f(x)+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=2^x，x∈R．
（1）若存在x∈[-1，1]，使得f(x)+

a

f(x)

＞2成立，求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（2x）+（a-1）f（x）＞a；
（3）若f（x₁）+f（x₂）=f（x₁）f（x₂），f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）=f（x₁）f（x₂）f（x₃），求x₃的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：一元高次（二次以上）不等式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵存在 x∈[-1，1]，令t=2x∈[

1

2

，2]，即t+

a

t

＞2成立．（1分）
∴a＞-t²+2t．由于函数y=-t²+2t的最小值为0，此时，t=2，（4分）
∴a＞0，即实数a的取值范围为（0，+∞）．（5分）
（2）不等式f（2x）+（a-1）f（x）＞a，即 2^2x+（a-1）x＞a．
令t=2^x∈（0，+∞），不等式即（t-1）（t+a）＞0．（6分）
①当-a=1，即a=-1，可得t＞0且t≠1，∴x≠0．（7分）
②当-a＞1，即a＜-1，可得t＞-a，或0＜t＜1，∴x＞log₂（-a），或x＜0．（8分）
③当-a＜1，即 a＞-1，可得t＜-a，或t＞1．
若-a≤0，即a≥0，由不等式可得t＞1，∴x＞0．（9分）
若0＜-a＜1，即-1＜a＜0，由不等式可得0＜t＜-a，或t＞1，
∴x＜log₂（-a），或x＞0．（10分）
综上，当a=-1时，不等式的解集为{x|x≠0}；
当a＜-1时，不等式的解集为{x|x＞log₂（-a），或x＜0 }；
当 a≥0时，不等式的解集为{x|x＞0}；
当-1＜a＜0时，不等式的解集为{x|x＜log₂（-a），或x＞0}．（11分）
（3）令a=2x1，b=2x2，c=2x3，则a+b=ab，a+b+c=abc，（a，b，c＞0）．
由ab=a+b≥2

ab

?ab≥4．（13分）
c=

a+b

ab-1

=

ab

ab-1

=1+

1

ab-1

≤1+

1

3

=

4

3

（15分）
∴2x3≤

4

3

，故x₃的最大值为log2

4

3

．（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=2x，x∈R．（1）若存在x∈[-1，1]，使得f(x)+..”的主要目的是检查您对于考点“高中一元高次（二次以上）不等式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中一元高次（二次以上）不等式”。

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