如图，已知曲线C1：y=x2与曲线C2：y=-x2+2ax（a＞1）交于点O，A，直线x=t（0＜t≤1）与曲线C1，C2分别相交于点D，B，连结OD，DA，AB，OB．（1）写出曲边四边形ABOD（阴影部分）的面积S与t的-数学试题及答案

1、试题题目：如图，已知曲线C1：y=x2与曲线C2：y=-x2+2ax（a＞1）交于点O..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-27 07:30:00

试题原文

如图，已知曲线C₁：y=x²与曲线C₂：y=-x²+2ax（a＞1）交于点O，A，直线x=t（0＜t≤1）与曲线C₁，C₂分别相交于点D，B，连结OD，DA，AB，OB．
（1）写出曲边四边形ABOD（阴影部分）的面积S与t的函数关系式S=f（t）；
（2）求函数S=f（t）在区间（0，1]上的最大值．

试题来源：广州一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解析（1）由　

y=x2

y=-x2+2ax

解得

x=0

y=0

或

x=a

y=a2

．
∴O（0，0），A（a，a²）．又由已知得B（t，-t²+2at），D（t，t²），
∴S=

∫

t0

（-x²+2ax）dx-

1

2

t×t²+

1

2

（-t²+2at-t²）×（a-t）
=（-

1

3

x³+ax²）|

t0

-

1

2

t³+（-t²+at）×（a-t）=-

1

3

t³+at²-

1

2

t³+t³-2at²+a²t=

1

6

t³-at²+a²t．
∴S=f（t）=

1

6

t³-at²+a²t（0＜t≤1）．
（2）f′（t）=

1

2

t²-2at+a²，令f′（t）=0，即

1

2

t²-2at+a²=0．解得t=（2-

2

）a或t=（2+

2

）a．
∵0＜t≤1，a＞1，∴t=（2+

2

）a应舍去．
若（2-

2

）a≥1，即a≥

1

2-

2

=

2+

2

时，
∵0＜t≤1，∴f′（t）≥0．
∴f（t）在区间（0，1]上单调递增，S的最大值是f（1）=a²-a+

1

6

．
若（2-

2

）a＜1，即1＜a＜

2+

2

时，当0＜t＜（2-

2

）a时f′（t）＞0．当（2-

2

）a＜t≤1时，f′（t）＜0．
∴f（t）在区间（0，（2-

2

）a]上单调递增，在区间（（2-

2

）a，1]上单调递减．
∴f（t）的最大值是f（（2-

2

）a）=

1

6

[（2-

2

）a]³-a[（2-

2

）a]²+a²（2-

2

）a=

2

-2

3

a³．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，已知曲线C1：y=x2与曲线C2：y=-x2+2ax（a＞1）交于点O..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：