已知函数f(x)=C0nx2n-1-C1nx2n-2+C2nx2n-3-…+Crn(-1)rx2n-1-r+…+Cnn(-1)nxn-1，n∈N*．（1）当n≥2时，求函数f（x）的极大值和极小值；（2）是否存在等差数列{an}，使得a1C0n+a2C1n+…-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=C0nx2n-1-C1nx2n-2+C2nx2n-3-…+Crn(-1)rx2n-1-r+…+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

C

0n

x2n-1-

C

1n

x2n-2+

C

2n

x2n-3-…+

C

rn

(-1)rx2n-1-r+…+

C

nn

(-1)nxn-1，n∈N^*．
（1）当n≥2时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）是否存在等差数列{a_n}，使得a1

C

0n

+a2

C

1n

+…+an+1

C

nn

=nf(2)对一切n∈N^*都成立？并说明理由．

试题来源：徐州三模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f(x)=xn-1[

C

0n

xn-

C

1n

xn-1+

C

2n

xn-2-…+

C

rn

(-1)rxn-r+…+(-1)n

C

nn

]=x^n-1（x-1）ⁿ，f'（x）=（n-1）x^n-2（x-1）ⁿ+x^n-1?n（x-1）^n-1=x^n-2（x-1）^n-1[（n-1）（x-1）+nx]，
令f'（x）=0得x1=0，x2=

n-1

2n-1

，x3=1，
因为n≥2，所以x₁＜x₂＜x₃．…（2分）
当n为偶数时f（x）的增减性如下表：

x

（-∞，0）

0

(0，

n-1

2n-1

)

n-1

2n-1

(

n-1

2n-1

，1)

1

（1，+∞）

f'（x）

+

0

+

0

-

0

+

f（x）

↗

无极值

↗

极大值

↘

极小值

↗

所以当x=

n-1

2n-1

时，y极大

(n-1)n-1?(-n)n

(2n-1)2n-1

；当x=1时，y_极小=0．…（4分）
当n为奇数时f（x）的增减性如下表：

x

（-∞，0）

0

(0，

n-1

2n-1

)

n-1

2n-1

(

n-1

2n-1

，1)

1

（1，+∞）

f'（x）

+

0

-

0

+

0

+

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

无极值

↗

所以x=0时，y_极大=0；当x=

n-1

2n-1

时，y极小=

(n-1)n-1?(-n)n

(2n-1)2n-1

．…（6分）
（2）假设存在等差数列{a_n}使a1

C

0n

+a2

C

1n

+a3

C

2n

+…+an+1

C

nn

=n?2n-1成立，
由组合数的性质

C

mn

=

C

n-mn

，
把等式变为an+1

C

0n

+an

C

1n

+an-1

C

2n

+…+a1

C

nn

=n?2n-1，
两式相加，因为{a_n}是等差数列，所以a₁+a_n+1=a₂+a_n=a₃+a_n-1=…=a_n+1+a₁，
故(a1+an+1)(

C

0n

+

C

1n

+…+

C

nn

)=n?2n，
所以a₁+a_n+1=n． …（8分）
再分别令n=1，n=2，得a₁+a₂=1且a₁+a₃=2，
进一步可得满足题设的等差数列{a_n}的通项公式为an=n-1(n∈N*)．…（10分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=C0nx2n-1-C1nx2n-2+C2nx2n-3-…+Crn(-1)rx2n-1-r+…+..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：