已知函数f（x）=x2-alnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求证：f（x）在（1，+∞）上是增函数；（Ⅱ）求f（x）在[1，+∞）上的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2-alnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求证：f（x）在（1，+∞）上是增..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求证：f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）求f（x）在[1，+∞）上的最小值．

试题来源：东城区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x²-2lnx，当x∈（1，+∞）时，f/(x)=

2(x2-1)

x

＞0，所以f（x）在（1，+∞）上是增函数； …（5分）
（Ⅱ）f/(x)=

2x2-a

x

＞0，
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在[1，+∞）上单调递增，最小值为f（1）=1．
当a＞0，x∈(0，

a

2

)时，f（x）单调递减；当x∈(

a

2

，+∞)时，f（x）单调递增．
若

a

2

≤ 1，即0＜a≤2时，f（x）在[1，+∞）上单调递增，又f（1）=1，，所以f（x）在[1，+∞）上的最小值为1．
若

a

2

＞1，即a＞2时，f（x）在[1，

a

2

)上单调递减；在(

a

2

，+∞)上单调递增．
又f(

a

2

)=

a

2

-

a

2

ln

a

2

，所以f（x）在[1，+∞）上的最小值为

a

2

-

a

2

ln

a

2

．
综上，当a≤2时，f（x）在[1，+∞）上的最小值为1；
当a＞2时，f（x）在[1，+∞）上的最小值为

a

2

-

a

2

ln

a

2

．…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2-alnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求证：f（x）在（1，+∞）上是增..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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