已知函数f（x）=21nx+ax2-1（a∈R）（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=l，试解答下列两小题．（i）若不等式f（1+x）+f（1-x）＜m对任意的0＜x＜l恒成立，求实数m的取值范围；（ii）若x1，x2是两-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=21nx+ax2-1（a∈R）（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=21nx+ax²-1 （a∈R）
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=l，试解答下列两小题．
（i）若不等式f（1+x）+f（1-x）＜m对任意的0＜x＜l恒成立，求实数m的取值范围；
（ii）若x₁，x₂是两个不相等的正数，且以f（x₁）+f（x₂）=0，求证：x₁+x₂＞2．

试题来源：厦门模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=

2

x

+2ax
令f′（x）＞0，∵x＞0，∴2ax²+2＞0
①当a≥0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）递增区间是（0，+∞）；
②当a＜0时，由2ax²+2＞0可得-

-

1

a

＜x＜

-

1

a

x＞0，∴f（x）递增区间是（0，

-a

），递减区间为(

-a

，+∞)；
（Ⅱ）（i）设F（x）=f（1+x）+f（1-x）=2ln（1+x）+2ln（1-x）+2x²，则F′（x）=

4x3

x2-1

∵0＜x＜l，∴F′（x）＜0在（0，1）上恒成立，∴F（x）在（0，1）上为减函数
∴F（x）＜F（0）=0，∴m≥0，∴实数m的取值范围为[0，+∞）；
（ii）证明：∵f（x₁）+f（x₂）=0，
∴21nx₁+x₁²-1+21nx₂+x₂²-1=0
∴2lnx₁x₂+（x₁+x₂）²-2x₁x₂-2=0
∴（x₁+x₂）²=2x₁x₂-2lnx₁x₂+2
设t=x₁x₂，则t＞0，g（t）=2t-2lnt+2，∴g′（t）=

2(t-1)

t

令g′（t）＞0，得t＞1，∴g（t）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增
∴g（t）_min=g（1）=4，∴（x₁+x₂）²＞4，∴x₁+x₂＞2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=21nx+ax2-1（a∈R）（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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