已知函数f（x）=ax2-4bx+2alnx（a，b∈R）（I）若函数y=f（x）存在极大值和极小值，求ba的取值范围；（II）设m，n分别为f（x）的极大值和极小值，若存在实数，b∈（e+12ea，e2+12ea），使得m-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax2-4bx+2alnx（a，b∈R）（I）若函数y=f（x）存在极大值和..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax²-4bx+2alnx（a，b∈R）
（I）若函数y=f（x）存在极大值和极小值，求

b

a

的取值范围；
（II）设m，n分别为f（x）的极大值和极小值，若存在实数，b∈（

e+1

2

e

a，

e2+1

2e

a），使得m-n=1，求a的取值范围．（e为自然对数的底）

试题来源：婺城区模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）f′（x）=2ax-4b+

2a

x

=

2ax2-4bx+2a

x

，其中x＞0，
由于函数y=f（x）存在极大值和极小值，
故方程f′（x）=0有两个不等的正实数根，即2ax²-4bx+2a=0有两个不等的正实数根，记为x₁，x₂，显然a≠0，
所以

△=16(b2-a2)＞0

x1+x2=

2b

a

＞0

x1x2=1＞0

，解得

b

a

＞1；
（II）由b∈（

e+1

2

e

a，

e2+1

2e

a）得a＞0，且

b

a

∈（

e+1

2

e

，

e2+1

2e

），
由（I）知f（x）存在极大值和极小值，
设f′（x）=0的两根为x₁，x₂（0＜x₁＜x₂），则f（x）在（0，x₁）上递增，在（x₁，x₂）上递减，在（x₂，+∞）上递增，
所以m=f（x₁），n=f（x₂），
因为x₁x₂=1，所以0＜x₁＜1＜x₂，而且x1+x2=x1+

1

x1

=

2b

a

∈（

e+1

e

，

e2+1

e

），
由于函数y=x+

1

x

在（0，1）上递减，所以

1

e

＜x1＜

1

e

，
又由于2axi2-4bxi+2a=0(i=1，2)，
所以2axi2+2a=4bxi(i=1，2)，
所以m-n=f（x₁）-f（x₂）
=ax12-4bx1+2alnx1-ax22+4bx₂-2alnx₂
=a(x12-x22)-(2ax12+2a-2ax22-2a)+2a（lnx₁-lnx₂）
=-a（x12-

1

x12

）+2alnx12，
令t=x12，则m-n=-a（t-

1

t

）+2alnt，令h（t）=-（t-

1

t

）+2lnt（

1

e2

＜t＜

1

e

），
所以h′（t）=-1-

1

t2

+

2

t

=-

(t-1)2

t2

≤0，所以h（t）在（

1

e2

，

1

e

）上单调递减，所以e-e^-1-2＜h（t）＜e²-e^-2-4，
由m-n=ah（t）=1，知a=

1

h(t)

，所以

1

e2-e-2-4

＜a＜

1

e-e-1-2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax2-4bx+2alnx（a，b∈R）（I）若函数y=f（x）存在极大值和..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：