已知f（x）=lnx+x2-bx．（1）若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（2）当b=-1时，设g（x）=f（x）-2x2，求证函数g（x）只有一个零点．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=lnx+x2-bx．（1）若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知f（x）=lnx+x²-bx．
（1）若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（2）当b=-1时，设g（x）=f（x）-2x²，求证函数g（x）只有一个零点．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）在（0，+∞）上递增，
∴f′（x）=

1

x

+2x-b≥0，对x∈（0，+∞）恒成立，即b≤

1

x

+2x对x∈（0，+∞）恒成立，
∴只需b≤（

1

x

+2x）_min　（x＞0），
∵x＞0，
∴

1

x

+2x≥2

2

，当且仅当x=

2

时取“=”，∴b≤2

2

，
∴b的取值范围为（-∞，2

2

]．
（2）证明：当b=-1时，g（x）=f（x）-2x²=lnx-x²+x，其定义域是（0，+∞），
∴g′（x）=

1

x

-2x+1=-

2x2-x-1

x

，
令g′（x）=0，∵x＞0，∴x=1，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x＞1时，g′（x）＜0，
∴函数g（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
∴当x≠1时，g（x）＜g（1），即g（x）＜0，当x=1时，g（x）=0．
∴函数g（x）只有一个零点．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=lnx+x2-bx．（1）若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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