已知函数f(x)=1x-log21+x1-x．（1）求f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的奇偶性；（3）证明f（x）在（0，1）内单调递减．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=1x-log21+x1-x．（1）求f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的奇..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

x

-log2

1+x

1-x

．
（1）求f（x）的定义域；
（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）证明f（x）在（0，1）内单调递减．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）

x≠0

1+x

1-x

＞0

?-1＜x＜0或0＜x＜1，
故f（x）的定义域为（-1，0）∪（0，1）；
（2）∵f(-x)=-

1

x

-log2

1-x

1+x

=-(

1

x

-log2

1+x

1-x

)=-f(x)，
∴f（x）是奇函数；
（3）设0＜x₁＜x₂＜1，则f(x1)-f(x2)=(

1

x1

-

1

x2

)+(log2

1+x2

-log2

1+x1

1-x1

=

x2-x1

x1x2

+log2

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

∵0＜x₁＜x₂＜1，∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
（1-x₁）（1+x₂）=1-x₁x₂+（x₂-x₁）＞1-x₁x₂-（x₂-x₁）=（1+x₁）（1-x₂）＞0
∴

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞1， log2

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞0，

x2-x1

x1x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）∴f（x）在（0，1）内递减．
另f′(x)=-(

1

x2

+

2

1-x2

log2e)∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0
故f（x）在（0，1）内是减函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=1x-log21+x1-x．（1）求f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的奇..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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