定义在R上的函数，对任意x1，x2∈R，都有f(x1+x22)≥12[f(x1)+f(x2)]，则称函数f（x）是R上的凸函数．已知二次函数f（x）=ax2+x（a∈R，a≠0）．（1）求证：当a＜0时，函数f（x）是凸函数；（2）-数学试题及答案

1、试题题目：定义在R上的函数，对任意x1，x2∈R，都有f(x1+x22)≥12[f(x1)+f(x2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

定义在R上的函数，对任意x₁，x₂∈R，都有f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]，则称函数f（x）是R上的凸函数．已知二次函数f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0）．
（1）求证：当a＜0时，函数f（x）是凸函数；
（2）对任意x∈（0，1]，f（x）≥-1恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：f(

x1+x2

2

)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]
=a(

x1+x2

2

)2+

x1+x2

2

-

1

2

(a

x

21

+x1+a

x

22

+x2)
=-a(

x1-x2

2

)2，
又a＜0，故f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]，
所以当a＜0时，函数f（x）是凸函数，命题得证．----------（5分）
（2）∵对任意x∈（0，1]，f（x）≥-1恒成立．
∴a≥-(

1

x

)2-

1

x

在（0，1]上恒成立，
即a≥[-(

1

x

)2-

1

x

] max=2则a≥-2，------（8分）
又a≠0，故a≥-2且a≠0．----------（10分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义在R上的函数，对任意x1，x2∈R，都有f(x1+x22)≥12[f(x1)+f(x2..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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