已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足条件f（-1），当x∈R时x≤f（x）≤(x+1)24恒成立．（1）求f（1）；（2）求f（x）的解析式；（3）若x1，x2∈（0，+∞），且1x1+1x2=2，求证：f（x1）?f（x2）≥1．-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足条件f（-1），当x∈R时x≤f（x）≤(x+1)2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c满足条件f（-1），当x∈R时x≤f（x）≤

(x+1)2

4

恒成立．
（1）求f（1）；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若x₁，x₂∈（0，+∞），且

1

x1

+

1

x2

=2，求证：f（x₁）?f（x₂）≥1．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵x≤f（x）≤

(x+1)2

4

∴当x=1时．1≤f（1）≤

(1+1)2

4

=1．
∴f（1）=1．
（2）由（1）知a+b+c=1，又f（-1）=0，∴a-b+c=0
从而

b=

1

2

a+c=

1

2

，又x∈R时，f（x）≥x恒成立．
即ax²+（b-1）x+c≥0，故

a＞0

△=(b-1)2-4ac≤0

∴ac≥

1

16

∴c＞0 而a+c=

1

2

≥ 2

ac

∴ac≤

1

16

∴ac=

1

16

∴a=c=

1

4

．∴f(x)=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

．
（3）∵

1

x1

+

1

x2

=2，x₁，x₂∈（0，+∞），
∴x₁+x₂=2x₁x₂
∴x1+x2≥2

x1x2

（当且仅当x₁=x₂=1时取等号）
∴2x1x2≥2

x1x2

∴x₁x₂≥1．
又（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=3x₁x₂+1≥4．
∴f（x₁）?f（x₂）=

(x1+1)2

4

?

(x2+1)2

4

≥ 1 （当且仅当x₁=x₂=1时取等号）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足条件f（-1），当x∈R时x≤f（x）≤(x+1)2..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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