已知函数f(x)=2a-13x+1（a∈R）．（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=2a-13x+1（a∈R）．（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=2a-

1

3x+1

（a∈R）．
（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵函数f（x）为奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0，
即：(2a-

1

3-x+1

)+(2a-

1

3x+1

)=0，
则有：4a-

3x

3-x?3x+1?3x

-

1

3x+1

=0，
即：4a-

3x+1

=0，
∴4a-1=0，a=

1

4

；
（2）f（x）在R上是增函数，证明如下：
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=(2a-

1

3x1+1

)-(2a-

1

3x2+1

)=

1

3x2+1

-

1

3x1+1

=

3x1-3x2

(3x1+1)(3x2+1)

．
∵y=3^x在R上是增函数，且x₁＜x₂，
∴3x1＜3x2，
即：3x1-3x2＜0．
又3^x＞0，
∴3x1+1＞0，3x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即：f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在R上是增函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=2a-13x+1（a∈R）．（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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