已知函数f（x）=lnx-ax，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R（1）当a=1时，判断f（x）的单调性；（2）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；（3）设函数h（x）=x2-mx+4，当a=2时，-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx-ax，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R（1）当a=1时，判..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx-

a

x

，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R
（1）当a=1时，判断f（x）的单调性；
（2）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；
（3）设函数h（x）=x²-mx+4，当a=2时，若?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=1时，f（x）=lnx-

1

x

，
∴f′（x）=

1

x

+

1

x2

=

x+1

x2

，x＞0．
∵x＞0，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）∵f（x）=lnx-

a

x

，g（x）=f（x）+ax-6lnx，a＞0．
∴g（x）=ax-

a

x

-5lnx，x＞0
∴g′（x）=a+

1

x2

-

5

x

=

ax2-5x+a

x2

，
若g′（x）＞0，可得ax²-5x+a＞0，在x＞0上成立，
∴a＞

5x

x2+1

=

5

x+

1

x

，
∵

5

x+

1

x

≤

5

2

1

=

5

2

（x=1时等号成立），
∴a＞

5

2

．
（3）当a=2时，g（x）=2x-

2

x

-5lnx，
h（x）=x²-mx+4=（x-

m

2

）²+4-

m2

4

，
?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，
∴要求g（x）的最大值，大于h（x）的最大值即可，
g′（x）=

2x2-5x+2

x2

=

(2x-1)(x-2)

x2

，令g′（x）=0，
解得x₁=

1

2

，x₂=2，
当0＜x＜

1

2

，或x＞2时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
当

1

2

＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；
∵x₁∈（0，1），
∴g（x）在x=

1

2

处取得极大值，也是最大值，
∴g（x）_max=g（

1

2

）=1-4+5ln2=5ln2-3，
∵h（x）=x²-mx+4=（x-

m

2

）²+4-

m2

4

，
若m≤3，h_max（x）=h（2）=4-2m+4=8-2m，
∴5ln2-3≥8-2m，∴m≥

11-5ln2

2

，
∵

11-5ln2

2

＞3，故m不存在；
若m＞3时，h_max（x）=h（1）=5-m，
∴5ln2-3≥5-m，∴m≥8-5ln2，
实数m的取值范围：m≥8-5ln2；

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx-ax，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R（1）当a=1时，判..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：