已知函数f（x）=lnx-ax+2．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若xlnx≤mx2-12在x∈[1e，1]上恒成立，求m的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx-ax+2．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若xlnx≤m..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx-

a

x

+2．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若xlnx≤mx²-

1

2

在x∈[

1

e

，1]上恒成立，求m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）定义域{x|x＞0}．（1分）f′(x)=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

当a＜0时，x∈（0，-a），f'（x）＜0，f（x）单调递减，
x∈（-a，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当a≥0时，x∈（0，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增．（4分）
（Ⅱ）由xlnx≤mx2-

1

2

，得

lnx

x

+

1

2x2

≤m．
令已知函数g(x)=

lnx

x

+

1

2x2

．（5分）g′(x)=

1-lnx-

1

x

x2

．
∵当a=-1时，f(x)=lnx+

1

x

+2，
∴g′(x)=

1-lnx-

1

x

x2

=

3-(lnx+

1

x

+2)

x2

．（7分）
当x∈（0，1）时，f（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增．（8分）
f（x）≥f（1）=3，即lnx+

1

x

+2≥3，
∴g′(x)=

3-(lnx+

1

x

+2)

x2

≤0，
∴g（x）在x∈（0，+∞）上，g'（x）≤0，g（x）单调递减，（9分）
在[

1

e

，1]上，g(x)≤g(

1

e

)=-e+

e2

2

，若

lnx

x

+

1

2x2

≤m恒成立，则m∈[-e+

e2

2

，+∞)．（10分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx-ax+2．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若xlnx≤m..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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