已知函数f（x）=x2+2x+alnx．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在区间（0，2]上恒为单调函数，求实数a的取值范围；（3）当t≥1时，不等式f（3t-2）≥3f（t）-6恒成-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2+2x+alnx．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²+2x+alnx．
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在区间（0，2]上恒为单调函数，求实数a的取值范围；
（3）当t≥1时，不等式f（3t-2）≥3f（t）-6恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意得，f′(x)=2x+2+

a

x

，
∴f′（1）=4+a，且f（1）=3，
∴过点（1，f（1））的切线方程为y-3=（4+a）（x-1），
即（4+a）x-y-a-1=0，
（2）由f（x）在区间（0，2]上恒为单调函数得，
当f（x）在区间（0，2]上恒为单调增时，
∴f′(x)=2x+2+

a

x

≥0在（0，2]恒成立，
即2x²+2x+a≥0，∴-a≤2x²+2x，
∵2x²+2x在（0，2]上最小值为0，
∴-a≤0，即a≥0，
当f（x）在区间（0，2]上恒为单调减时，
∴f′(x)=2x+2+

a

x

≤0在（0，2]恒成立，
即2x²+2x+a≤0，∴-a≥2x²+2x，
∵2x²+2x在（0，2]上最小值为12，
∴-a≥12，即a≤-12．
综上得，实数a的取值范围是a≥0或a≤-12．
（3）由题意令：h（t）=f（3t-2）-[3f（t）-6]（t≥1），
又∵h′(t)=3[f′(3t-2)-f′(t)]=6(t-1)[2-

a

t(3t-2)

]（t≥1），
∵t≥1，∴t（3t-2）≥1．
1°当a≤2时，2-

a

t(3t-2)

≥0，h′（t）≥0（等号不恒成立），
∴h（t）在[1，+∞）上为增函数，
且h（1）=f（1）-[3f（1）-6]=3-3=0，
则h（t）≥h（1）对任意的t∈[1，+∞）恒成立．
2°当a＞2时，
h′(t)=

6(t-1)(6t2-4t-a)

t(3t-2)

=

36(t-1)(t-

1-

1+9a

3

)(t-

1+

1+9a

3

)

t(3t-2)

，
∵

1-

1+9a

3

＜1＜

1+

1+9a

3

，
∴当t∈(1，

1+

1+9a

3

)时，h′（t）＜0，
h（t）在(1，

1+

1+9a

3

)上为减函数，
则h（t）＜h（1）=0，不合题意，舍去．
综上所述，实数a的取值范围为（-∞，2]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2+2x+alnx．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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