已知定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的函数y=f（x）满足条件：对于定义域内任意x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）．（1）求证：f(1x)=-f(x)，且f（x）是偶函数；（2）请写出一个满足上述条件的函数-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的函数y=f（x）满足条件：对于定义域内..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的函数y=f（x）满足条件：对于定义域内任意x₁，x₂都有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求证：f(

1

x

)=-f(x)，且f（x）是偶函数；
（2）请写出一个满足上述条件的函数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：令x₁=x₂=1
∵f（x₁?x₂）=f（x₁）+f（x₂）
∴f（1）=2f（1）
∴f（1）=0，
∴f(

1

x

)+f(x)=f(1)=0，
∴f(

1

x

)=-f(x)
令x₁=-1，x₂=1
f（-1）=f（-1）+f（-1）=2f（-1），
∴f（-1）=0；
令x₁=-1
∵f（x₁?x₂）=f（x₁）+f（x₂）
∴f（x₁?x₂）=f（-x₂）=f（-1）+f（x₂）
又∵f（-1）=0
∴f（-x₂）=f（x₂）
故f（x）是偶函数；
（2）根据根据（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）以及函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
可知f（x）=log₂|x|．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的函数y=f（x）满足条件：对于定义域内..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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