设函数f（x）=（x+1）ln（x+1），若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，则实数a的取值范围为_____

1、试题题目：设函数f（x）=（x+1）ln（x+1），若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，则实..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=（x+1）ln（x+1），若对所有的x≥0，都有f（x）≥a x成立，则实数a的取值范围为______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

令g（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，
对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1-a
令g′（x）=0，解得x=e^a-1-1，
（i）当a≤1时，对所有x＞0，g′（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上是增函数，
又g（0）=0，所以对x≥0，都有g（x）≥g（0），
即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f（x）≥ax．
（ii）当a＞1时，对于0＜x＜e^a-1-1，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，e^a-1-1）是减函数，
又g（0）=0，所以对0＜x＜e^a-1-1，都有g（x）＜g（0），
即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立．
综上，a的取值范围是（-∞，1]．
故答案为（-∞，1]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=（x+1）ln（x+1），若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，则实..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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