已知函数f（x）=ex-mx（1）当m=1时，求函数f（x）的最小值；（2）若函数g（x）=f（x）-lnx+x2存在两个零点，求m的取值范围；（3）证明：(1n)n+(2n)n+(3n)n+…+(nn)n＜ee-1．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ex-mx（1）当m=1时，求函数f（x）的最小值；（2）若函数g..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=e^x-mx
（1）当m=1时，求函数f（x）的最小值；
（2）若函数g（x）=f（x）-lnx+x²存在两个零点，求m的取值范围；
（3）证明：(

1

n

)n+(

2

n

)n+(

3

n

)n+…+(

n

)n＜

e

e-1

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当m=1时，f（x）=e^x-x，
∴f′（x）=e^x-1，
当x＜0时，f′（x）＜0，
当x＞0时，f′（x）＞0，
∴f（x）_min=f（x）=1．
（2）由g（x）=f（x）-lnx+x²=0，
得m=

ex-lnx+x2

x

，
令h（x）=

ex-lnx+x2

x

，
则h′（x）=

(x-1)ex+lnx+x2-1

x2

，
观察得x=1时，h′（x）=0．
当x＞1时，h′（x）＞0，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，
∴h（x）_min=h（1）=e+1，
∴函数g（x）=f（x）-lnx+x²存在两个零点时m的取值范围是（e+1，+∞）．
（3）由（1）知e^x-x≥1，∴e^x≥x+1，令x=1=

k

n

，则x=

k

n

-1，
∴e

k

n

-1≥

k

n

，∴e k-n≥(

k

n

)n
∴(

1

n

)n+(

2

n

)n+(

3

n

)n+…+(

n

)n≤e^1-n+e^2-n+…+1=

1-(

1

e

)n

1-

1

e

＜

e

e-1

所以(

1

n

)n+(

2

n

)n+(

3

n

)n+…+(

n

)n＜

e

e-1

．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ex-mx（1）当m=1时，求函数f（x）的最小值；（2）若函数g..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：