已知函数f（x）=ex-x（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若n∈N*，证明：(1n)n+(2n)n+…+(n-1n)n+(nn)n＜ee-1．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ex-x（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=e^x-x（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若n∈N^*，证明：(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n-1

n

)n+(

n

)n＜

e

e-1

．

试题来源：广州一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=e^x-x，∴f'（x）=e^x-1，令f'（x）=0，得x=0．
∴当x＞0时，f'（x）＞0，当x＜0时，f'（x）＜0．∴函数f（x）=e^x-x在区间（-∞，0）上单调递减，
在区间（0，+∞）上单调递增．∴当x=0时，f（x）有最小值1．
（2）证明：由（1）知，对任意实数x均有e^x-x≥1，即1+x≤e^x．令x=-

k

n

（n∈N^*，k=1，2，，n-1），
则 0＜1-

k

n

≤e-

k

n

，∴(1-

k

n

)n≤(e-

k

n

)n=e-k(k=1，2，，n-1)．
即(

n-k

n

)n≤e-k(k=1，2，，n-1)．∵(

n

)n=1，
∴(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n-1

n

)n+(

n

)n≤e-(n-1)+e-(n-2)+… ．+e-2+e-1+1．
∵e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-2+e-1+1=

1-e-n

1-e-1

＜

1

1-e-1

=

e

e-1

，
∴(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n-1

n

)n+(

n

)n＜

e

e-1

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ex-x（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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