已知函数f（x）=ex-ex（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对于函数h（x）=12x2与g（x）=elnx，是否存在公共切线y=kx+b（常数k，b）使得h（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b在函数h（x），g（x）各自定义域上恒成-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ex-ex（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对于函数h（x）=12x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=e^x-ex
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）对于函数h（x）=

1

2

x²与g（x）=elnx，是否存在公共切线y=kx+b（常数k，b）使得h（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b在函数h（x），g（x）各自定义域上恒成立？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由f′（x）=e^x-e=0，∴x=1．∴f（x）在（-∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．∴f（x）的最小值为0

（Ⅱ）设 F(x)=h(x)-g(x)=

1

2

x2-elnx(x＞0)，∴F′(x)=x-

e

x

=

x2-e

x

=

(x+

e

)(x-

e

)

x

∴当 0＜x＜

e

时，F′（x）＜0，函数F（x）单调递减；当 x＞

e

时，F′（x）＞0，函数F（x）单调递增．
∴x=

e

是函数F（x）的极小值点，也是最小值点，∴F(x)min=F(

e

)=

1

2

e，∴函数f（x）与h（x）的图象在 x=

e

处有公共点 (

e

，

1

2

e)（9分）
设f（x）与h（x）存在公共切线且方程为：y-

1

2

e=k(x-

e

)，令函数 u(x)=kx+

1

2

e-k

e

，
ⅰ）由h(x)≥u(x)?

1

2

x2≥kx+

1

2

e-k

e

在x∈R恒成立，即x2-2kx-e+2k

e

≥0在R上恒成立，
∴△=4k2+4e-8k

e

=4(k-

e

)2≤0成立，
∴k=

e

，故 u(x)=

e

x-

1

2

e．（11分）
ⅱ）下面再证明：f(x)≤u(x)?elnx≤

e

x-

1

2

e(x＞0)恒成立
设 φ(x)=elnx-

e

x+

1

2

e，则 φ′(x)=

e

x

-

e

=

e-

e

x

．
∴当0＜x＜

e

时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增；当 x＞

e

时，φ′（x）＜0．函数φ（x）单调递减．∴x=

e

时φ（x）取得最大值0，则 φ(x)≤

e

x-

1

2

e（x＞0）成立．（13分）
综上ⅰ）和ⅱ）知：f(x)≤

e

x-

1

2

e且 h(x)≥

e

x-

1

2

e，
故函数f（x）与h（x）存在公共切线为y=

e

x-

1

2

e，此时 k=

e

，b=-

1

2

e．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ex-ex（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对于函数h（x）=12x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：