已知函数f（x）=13x3-x2-3x+43，直线l：9x+2y+c=0．（1）求证：直线l与函数y=f（x）的图象不相切；（2）若当x∈[-2，2]时，函数f（x）的图象在直线l的下方，求c的范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=13x3-x2-3x+43，直线l：9x+2y+c=0．（1）求证：直线l与函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

1

3

x3-x2-3x+

4

3

，直线l：9x+2y+c=0．
（1）求证：直线l与函数y=f（x）的图象不相切；
（2）若当x∈[-2，2]时，函数f（x）的图象在直线l的下方，求c的范围．

试题来源：南京一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）f′（x）=x²-2x-3=（x-1）²-4≥-4
故函数y=f（x）的图象上任意一点的切线的斜率均不小于-4
而直线l：9x+2y+c=0的斜率为-

9

2

＜-4
所以直线l与y=f（x）的图象不相切．
（2）当x∈[-2，2]时，函数y=f（x）的图象在直线l的下方
即

1

3

x3-2x2-3x-(-

9

2

x-

c

2

)＜0对一切x∈[-2，2]都成立c＜-

2

3

x3+2x2-3x-

8

3

对一切x∈[-2，2]都成立
令g(x)=-

2

3

x3+2x2-3x-

8

3

g′（x）=-2x²+4x-3=-2（x-1）²-1＜0
g（x）在∈[-2，2]上单调递减故当x∈[-2，2]时，[g（x）]_min=g（2）=-6
因此c＜-6，即c的范围是（-∞，-6）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=13x3-x2-3x+43，直线l：9x+2y+c=0．（1）求证：直线l与函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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