已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数），e为自然对数的底数．（1）求函数f（x）在[1，e]上的最小值；（2）若存在x∈[1，e]，使得不等式f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数），e为自然对数的底数．（1）求函数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=alnx+x² （a为实常数），e为自然对数的底数．
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最小值；
（2）若存在x∈[1，e]，使得不等式f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′(x)=

2x2+a

x

(x＞0)，当[1，e]，2x²+a∈[a+2，a+2e²]．
①若a≥-2，f′（x）在[1，e]上非负（仅当a=-2，x=1时，f′（x）=0，故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]_min=f（1）=1．
②若-2e²＜a＜-2，当x=

-a

2

时，f′（x）=0；当1≤x＜

-a

2

时，f′（x）＜0，此时f（x）
是减函数；当

-a

2

＜x≤e时，f′（x）＞0，此时f（x）是增函数．故[f(x)]min=f(

-a

2

)=

a

2

ln(-

a

2

)-

a

2

．
③若a≤-2e²，f′（x）在[1，e]上非正（仅当a=-2e²，x=e时，f′（x）=0，故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]_min=f（e）=a+e²．
综上可知，[f(x)]min=

1(a≥-2)

a

2

ln(-

a

2

)-

a

2

(-2e2＜a＜-2)

a+e2(a≤-2e2)

（2）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x-lnx）≥x²-2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x-lnx＞0，
因而a≥

x2-2x

x-lnx

(x∈[1，e])
令g(x)=

x2-2x

x-lnx

(x∈[1，e])，又g′(x)=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），所g（x）在[1，e]上为增函数，
故g（x）的最大值为g（e）=

e2-2e

e-1

，所以a的取值范围是[

e2-2e

e-1

，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数），e为自然对数的底数．（1）求函数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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