设函数f（x）=ex+1，g（x）=（e-1）x+2（e是自然对数的底数）．（1）判断函数H（x）=f（x）-g（x）零点的个数，并说明理由；（2）设数列{an}满足：a1∈（0，1），且f（an）=g（an+1），n∈N*；①求证：0＜an-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=ex+1，g（x）=（e-1）x+2（e是自然对数的底数）．（1）判断函数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=e^x+1，g（x）=（e-1）x+2（e是自然对数的底数）．
（1）判断函数H（x）=f（x）-g（x）零点的个数，并说明理由；
（2）设数列{a_n}满足：a₁∈（0，1），且f（a_n）=g（a_n+1），n∈N^*；
①求证：0＜a_n＜1；
②比较a_n与（e-1）a_n+1的大小．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数f（x）=e^x+1，g（x）=（e-1）x+2，∴H（x）=f（x）-g（x）=e^x-（e-1）x-1
∴H′（x）=e^x-（e-1），
令H′（x）=0，则x₀=ln（e-1）
当x∈（-∞，x₀）时，H′（x）＜0，H（x）在（-∞，x₀）单调递减
当x∈（x₀，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）在（x₀，+∞）单调递增
故H（x）_min=H（x₀）=e^x₀-（e-1）x₀-1=e-1-（e-1）ln（e-1）-1
令t=e-1＞1，函数h（t）=t-tlnt-1，
因为h′（t）=-lnt＜0，所以函数h（t）=t-tlnt-1在（1，+∞）单调递减，故h（t）≤h（1）=0，
又e-1＞1，故H（x₀）＜0，从而H（x）有两个零点；
（2）①证明：因为f（a_n）=g（a_n+1），即ean+1=（e-1）a_n+1+2，所以a_n+1=

1

e-1

（ean-1）
下面用数学归纳法证明a_n∈（0，1）
1°当n=1时，a₁∈（0，1）成立；
2°假设当n=k时，a_k∈（0，1），则a_k+1=

1

e-1

（eak-1）
∵a_k∈（0，1），∴1＜eak＜e，∴0＜＜e-1
∴0＜a_k+1＜1
综上知，a_n∈（0，1）；
②∵（e-1）a_n+1-a_n=ean-1-a_n，
考虑函数p（x）=e^x-1-x（0＜x＜1）
∵p′（x）=e^x-1＞0，
∴p（x）在（0，1）上是增函数
故p（x）＞p（0）=0
∴（e-1）a_n+1-a_n＞0
∴（e-1）a_n+1＞a_n．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=ex+1，g（x）=（e-1）x+2（e是自然对数的底数）．（1）判断函数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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