已知函数f（x）=ex，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程；（Ⅱ）证明：曲线y=f（x）与曲线y=12x2+x+1有唯一公共点．（Ⅲ）设a＜b，比较f（a+b2）与f(b)-f(a)b-a的大小，并-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ex，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=e^x，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程；
（Ⅱ）证明：曲线y=f（x）与曲线y=

1

2

x2+x+1有唯一公共点．
（Ⅲ）设a＜b，比较f（

a+b

2

）与

f(b)-f(a)

b-a

的大小，并说明理由．

试题来源：陕西试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）函数f（x）=e^x的反函数为g（x）=lnx，
∵g′(x)=

1

x

，∴g^′（1）=1，
∴f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程为y-0=1×（x-1），即y=x-1；
（Ⅱ）证明：令h（x）=f（x）-(

1

2

x2+x+1)=ex-

1

2

x2-x-1，
则h^′（x）=e^x-x-1，
h^′′（x）=e^x-1，
当x＞0时，h^′′（x）＞0，h^′（x）单调递增；当x＜0时，h^′′（x）＜0，h^′（x）单调递减，
故h^′（x）在x=0取得极小值，即最小值，
∴h^′（x）≥h^′（0）=0，
∴函数y=h（x）在R上单调递增，最多有一个零点，
而x=0时，满足h（0）=0，是h（x）的一个零点．
所以曲线y=f（x）与曲线y=

1

2

x2+x+1有唯一公共点（0，1）．
（Ⅲ）

f(a)+f(b)

2

-

f(b)-f(a)

b-a

=

(b-a+2)f(a)+(b-a-2)f(b)

2(b-a)

=

(b-a+2)ea+(b-a-2)eb

2(b-a)

=

(b-a+2)+(b-a-2)eb-a

2(b-a)

ea，
令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），则g^′（x）=1+（x-1）e^x．
g^′′（x）=xe^x＞0，∴g^′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g^′（0）=0，
∴g^′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（0）=0，∴在（0，+∞）g（x）＞0．
∵当x＞0时，g（x）=x+2+（x-2）?e^x＞0，且a＜b，
∴

(b-a+2)+(b-a-2)eb-a

2(b-a)

ea＞0，
即当a＜b时，f(

a+b

2

)＞

f(b)-f(a)

b-a

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ex，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：