已知函数f(x)=1x+clnx的图象与x轴相切于点S（s，0）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数f（x）的图象与过坐标原点O的直线l相切于点T（t，f（t）），且f（t）≠0，证明：1＜t＜e；（注：e是自然-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=1x+clnx的图象与x轴相切于点S（s，0）．（Ⅰ）求函数f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

x

+clnx的图象与x轴相切于点S（s，0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象与过坐标原点O的直线l相切于点T（t，f（t）），且f（t）≠0，证明：1＜t＜e；（注：e是自然对数的底）
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记直线ST的倾斜角为α，试证明：

π

4

＜α＜

5π

12

．

试题来源：泉州模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由f(x)=

1

x

+clnx，得f′(x)=-

1

x2

+

c

x

．…（1分）
∵函数f(x)=

1

x

+clnx的图象与x轴相切于点S（s，0），
∴f′(s)=-

1

s2

+

c

s

=

cs-1

s2

=0，…①且f（s）=

1

s

+clns=0…．②…（2分）
联立①②得c=e，s=

1

e

．…（3分）
∴f(x)=

1

x

+elnx．…（4分）
（Ⅱ）证明：f′(x)=-

1

x2

+

e

x

．
∵函数f(x)=

1

x

+clnx的图象与直线l相切于点T（t，f（t）），直线l过坐标原点O，
∴直线l的方程为：y=(-

1

t2

+

e

t

)x，
又∵T在直线l上，∴实数t必为方程

2

t

+elnt-e=0…．③的解．…（5分）
令g(t)=

2

t

+elnt-e，则g′(t)=-

2

t2

+

e

t

=

et-2

t2

，
解g′（t）＞0得t＞

2

e

，g′（t）＜0得0＜t＜

2

e

．
∴函数y=g（t）在(0，

2

e

]递减，在(

2

e

，+∞)递增．…（7分）
∵g(

1

e

)=0，且函数y=g（t）在(0，

2

e

)递减，
∴t=

1

e

是方程

2

t

+elnt-e=0在区间(0，

2

e

]内的唯一一个解，
又∵f(

1

e

)=0，∴t=

1

e

不合题意，即t＞

2

e

．…（8分）
∵g（1）=2-e＜0，g(e)=

2

e

＞0，函数y=g（t）在(

2

e

，+∞)递增，
∴必有1＜t＜e．…（9分）
（Ⅲ）证明：∵T（t，f（t）），S(

1

e

，0)
∴tanα=kST=

f(t)-0

t-s

=

1

t

+elnt

t-

1

e

，
由③得tanα=

1

t

+elnt

t-

1

e

=

e

t

，…（10分）
∵t＞0，且0≤α＜π，∴0＜α＜

π

2

．
∵1＜t＜e，∴1＜tanα=

e

t

＜e，…（11分）
∵tan

π

4

=1，tan

5π

12

=tan(

π

6

+

π

4

)=

tan

π

6

+tan

π

4

1-tan

π

6

tan

π

4

=2+

3

＞e，…（13分）
∴tan

π

4

＜tanα＜tan

5π

12

，
∵y=tanx在(0，

π

2

)单调递增，∴

π

4

＜α＜

5π

12

．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=1x+clnx的图象与x轴相切于点S（s，0）．（Ⅰ）求函数f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：