已知三次函数f（x）=ax3-5x2+cx+d（a≠0）图象上点（1，8）处的切线经过点（3，0），并且f（x）在x=3处有极值．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若当x∈（0，m）时，f（x）＞0恒成立，求实数m的取值范围-数学试题及答案

1、试题题目：已知三次函数f（x）=ax3-5x2+cx+d（a≠0）图象上点（1，8）处的切线经过..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

已知三次函数f（x）=ax³-5x²+cx+d（a≠0）图象上点（1，8）处的切线经过点（3，0），并且f（x）在x=3处有极值．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若当x∈（0，m）时，f（x）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）图象过点（1，8），
∴a-5+c+d=8，即a+c+d=13①
又f′（x）=3ax²-10x+c，且点（1，8）处的切线经过（3，0），
∴f′（1）=

8-0

1-3

=-4，即3a-10+c=-4，∴3a+c=6②
又∵f（x）在x=3处有极值，∴f′（3）=0，即27a+c=30③
联立①、②、③解得a=1，c=3，d=9，f（x）=x³-5x²+3x+9
（2）f′（x）=3x²-10x+3=（3x-1）（x-3）由f′（x）=0得x₁=

1

3

，x₂=3
当x∈（0，

1

3

）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）＞f（0）=9
当x∈（

1

3

，3）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）＞f（3）=0．
又∵f（3）=0，
∴当m＞3时，f（x）＞0在（0，m）内不恒成立．
∴当且仅当m∈（0，3]时，f（x）＞0在（0，m）内恒成立．
所以m取值范围为（0，3]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知三次函数f（x）=ax3-5x2+cx+d（a≠0）图象上点（1，8）处的切线经过..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

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