设函数f（x）=ax+xx-1（x＞1），若a是从-1，0，1，2四数中任取一个，b是从1，2，3，4，5五数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．12B．720C．25D．920-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=ax+xx-1（x＞1），若a是从-1，0，1，2四数中任取..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-26 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=ax+

x

x-1

（x＞1），若a是从-1，0，1，2四数中任取一个，b是从1，2，3，4，5五数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（　　）

A．

1

2

B．

7

20

C．

2

5

D．

9

20

试题来源：不详试题题型：单选题试题难度：偏易适用学段：高中考察重点：古典概型的定义及计算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

当a=-1时，函数f（x）=ax+

x

x-1

=-x+

1

x-1

=-x+

x-1+1

x-1

=1-x+

1

x-1

，由于函数f（x）的导数f′（x）=-1-

1

(x-1)2

＜0，
故函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，f（2）=0，故当x＞2时，f（x）＜0．
而b是从1，2，3，4，5五数中任取一个，显然不满足当x＞1时，f（x）＞b恒成立．
∵函数f（x）=ax+

x

x-1

（x＞1），当a＞0时，
∴f（x）=ax+

x-1+1

x-1

=ax+1+

1

x-1

=a（x-1）+

1

x-1

+a+1≥2

a

+a+1=(

a

+1)2，
当且仅当a（x-1）+

1

x-1

时，等号成立，故f（x）min=(

a

+1)2．
于是f（x）＞b恒成立就转化为(

a

+1)2＞b，
当a=0时，函数f（x）=1+

1

x-1

＞1，由f（x）＞b恒成立可得，只有b=1．
设事件A：“f（x）＞b恒成立”，则基本事件总数（a，b）为20个：
（-1，1）、（-1，2）、（-1，3）、（-1，4）、（-1，5）、
（0，1），（0，2），（0，3），（0，4）；（0，5），（1，1），（1，2），（1，3），
（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）．
事件A包含事件：（0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），
（2，4），（2，5），共9个．
故f（x）＞b恒成立的概率为

9

20

，
故选D．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=ax+xx-1（x＞1），若a是从-1，0，1，2四数中任取..”的主要目的是检查您对于考点“高中古典概型的定义及计算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中古典概型的定义及计算”。

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