已知椭圆4x2+y2=1及直线l：y=x+m．（Ⅰ）当m为何值时，直线l与椭圆有公共点？（Ⅱ）若直线l被椭圆截得的线段长为425，求直线的方程．（Ⅲ）若直线l与椭圆相交于A、B两点，是否存在m的值，-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆4x2+y2=1及直线l：y=x+m．（Ⅰ）当m为何值时，直线l与椭圆有公..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知椭圆4x²+y²=1及直线l：y=x+m．
（Ⅰ）当m为何值时，直线l与椭圆有公共点？
（Ⅱ）若直线l被椭圆截得的线段长为

4

2

5

，求直线的方程．
（Ⅲ）若直线l与椭圆相交于A、B两点，是否存在m的值，使得

OA

?

OB

=0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）把直线y=x+m代入4x²+y²=1得
5x²+2mx+m²-1=0 ①…（1分）
∴△=4m²-20（m²-1）=-16m²+20≥0
-

5

2

≤m≤

5

2

…（2分）
（Ⅱ）设直线与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
由①得

x1+x2=-

2m

5

x1x2=

m2-1

5

，…（3分）
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=(-

2m

5

)2-

4(m2-1)

5

=

-16m2+20

25

…（4分）
∴|AB|=

(1+k)2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2×

-16m2+20

25

=

4

2

5

…（5分）
解得m=±

1

2

…（6分）
∴所求直线方程为y=x±

1

2

． …（7分）
（Ⅲ）设直线与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
由①得

x1+x2=-

2m

5

x1x2=

m2-1

5

若存在m的值，使得

OA

?

OB

=0，则有x₁x₂+y₁y₂=0…（8分）y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2=

4m2-1

5

…（9分）
∴

m2-1

5

+

4m2-1

5

=0，解得 …（10分）
又由（1）直线和椭圆有公共点，需满足-

5

2

≤m≤

5

2

…（11分）
∵

10

5

＜

5

2

∴存在m=±

10

5

满足题意 …（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆4x2+y2=1及直线l：y=x+m．（Ⅰ）当m为何值时，直线l与椭圆有公..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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