抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线x2-y2=1相交的一个交点为M，双曲线的两焦点分别为F1、F2，若MF1?MF2=54，（I）证明：M点在F1、F2为焦点的椭圆上；（II）求抛物线方程．-数学试题及答案

1、试题题目：抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线x2-y2=1相交的一个交点为M，双曲线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

抛物线y²=2px（p＞0）与双曲线x²-y²=1相交的一个交点为M，双曲线的两焦点分别为F₁、F₂，若MF1?MF2=

5

4

，
（I）证明：M点在F₁、F₂为焦点的椭圆上；
（II）求抛物线方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）设M（m，n）（m＞0），因M点在双曲线x²-y²=1，
根据双曲线的焦半径公式得：
MF₁=

2

m+1，MF₂=

2

m-1，
∵MF1?MF2=

5

4

∴（

2

m+1）（

2

m-1）=

5

4

，?m=

3

2

4

∴MF₁+MF₂=3=定值，即点M到F₁、F₂的距离之和为定值，且大于|F₁F₂|，
由椭圆的定义得：M点在F₁、F₂为焦点的椭圆上．
（II）由（I）得M的坐标为：（

3

2

4

，±

2

4

）
代入抛物线方程y²=2px（p＞0）得：2p=

2

12

∴抛物线方程是：y2=

2

12

x．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线x2-y2=1相交的一个交点为M，双曲线..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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