试证：不论正数a，b，c是等差数列还是等比数列，当n＞1，n∈N且a，b，c互不相等时，都有an+cn＞2bn．（n∈N）．-数学试题及答案

1、试题题目：试证：不论正数a，b，c是等差数列还是等比数列，当n＞1，n∈N且a，b，c..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-06 07:30:00

试题原文

试证：不论正数a，b，c是等差数列还是等比数列，当n＞1，n∈N且a，b，c互不相等时，都有aⁿ+cⁿ＞2bⁿ．（n∈N）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：基本不等式及其应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明（1）设a、b、c为等比数列，a=

b

q

，c=bq（q＞0且q≠1）
∴aⁿ+cⁿ=

bn

qn

+bⁿqⁿ=bⁿ（

1

qn

+qⁿ）＞2bⁿ
（2）设a、b、c为等差数列，
则2b=a+c猜想

an+cn

2

＞(

a+c

2

)n（n≥2且n∈N^*）
下面用数学归纳法证明
①当n=2时，由2（a²+c²）＞（a+c）²，∴

a2+c2

2

＞(

a+c

2

)2
②设n=k时成立，即

ak+ck

2

＞(

a+c

2

)k．
则当n=k+1时，

ak+1+ck+1

2

=

1

4

（a^k+1+c^k+1+a^k+1+c^k+1）＞

1

4

（a^k+1+c^k+1+a^k?c+c^k?a）=

1

4

（a^k+c^k）（a+c）
＞（

a+b

2

）^k?（

a+b

2

）=（

a+b

2

）^k+1
也就是说，等式对n=k+1也成立
由①②知，aⁿ+cⁿ＞2bⁿ对一切自然数n均成立

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“试证：不论正数a，b，c是等差数列还是等比数列，当n＞1，n∈N且a，b，c..”的主要目的是检查您对于考点“高中基本不等式及其应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中基本不等式及其应用”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：