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1、试题题目：若函数f(x)=13x3-a+12x2+bx+a（a，b∈R），且其导函数f′（x）的图象过..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-01-16 07:30:00

试题原文

若函数f(x)=
1
3
x3-
a+1
2
x2+bx+a（a，b∈R），且其导函数f′（x）的图象过原点．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=3处的切线方程；
（Ⅱ）若存在x＜0使得f′（x）=-9，求实数a的最大值．

  试题来源：不详   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：导数的运算



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
f(x)=
1
3
x3-
a+1
2
x2+bx+a，求导数，可得f′（x）=x2-（a+1）x+b，…（1分）
由f′（0）=0得b=0，f′（x）=x（x-a-1）．…（3分）
（Ⅰ）当a=1时，f(x)=
1
3
x3-x2+1，f′（x）=x（x-2），
∴f（3）=1，f′（3）=3．…（5分）
∴函数f（x）的图象在x=3处的切线方程为y-1=3（x-3），…（6分）
即3x-y-8=0．…（7分）
（Ⅱ）∵存在，使x＜0得f′（x）=x（x-a-1）=-9，
∴-a-1=-x-
9
x
=(-x)+(-
9
x
)≥2
(-x)×(-
9
x
)=6，
∴a≤-7，…（10分）
当且仅当x=-3时，a=-7．                                       …（12分）
∴a的最大值为-7．                                           …（14分）
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“若函数f(x)=13x3-a+12x2+bx+a（a，b∈R），且其导函数f′（x）的图象过..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的运算”。


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