已知函数f(x)=4sin2π+2x4?sinx+(cosx+sinx)(cosx-sinx)．（1）化简f（x）；（2）已知常数ω＞0，若函数y=f（ωx）在区间[-π2，2π3]上是增函数，求ω的取值范围；（3）若方程f（x）（sinx-1）+a=-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=4sin2π+2x4?sinx+(cosx+sinx)(cosx-sinx)．（1）化简f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-17 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=4sin2

π+2x

4

? sinx+(cosx+sinx)(cosx-sinx)．
（1）化简f（x）；
（2）已知常数ω＞0，若函数y=f（ωx）在区间[-

π

2

，

2π

3

]上是增函数，求ω的取值范围；
（3）若方程f（x）（sinx-1）+a=0有解，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：已知三角函数值求角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f(x)=2[1-cos(

π

2

+x)] ? sinx+cos2x-sin2x=（2+2sinx）sinx+1-2sin²x=2sinx+1（14分）
（2）∵f（ωx）=2sinωx+1
由2kπ-

π

2

≤ωx≤2kπ+

π

2

得

2kπ

ω

-

π

2ω

≤x≤

2kπ

ω

+

π

2ω

，k∈Z
∴f（ωx）的递增区间为[

2kπ

ω

-

π

2ω

，

2kπ

ω

+

π

2ω

]，k∈Z
∵f（ωx）在[-

π

2

，

2π

3

]上是增函数
∴当k=0时，有[-

π

2

，

2π

3

]?[-

π

2ω

，

π

2ω

]
∴

ω＞0

-

π

2ω

≤-

π

2

π

2ω

≥

2π

3

解得 0＜ω≤

3

4

∴ω的取值范围是(0，

3

4

]（8分）
（3）解一：方程f（x）（sinx-1）+a=0即为（2sinx+1）（sinx-1）+a=0从而问题转化为方程a=-2sin²x+sinx+1有解，只需a在函数y=-2sin²x+sinx+1的值域范围内
∵y=-2sin2x+sinx+1=-2(sinx-

1

4

)2+

9

8

当sinx=

1

4

时，ymax=

9

8

；
当sinx=-1时，y_min=-2
∴实数a的取值范围为[-2，

9

8

]（12分）
解二：原方程可化为2sin²x-sinx+a-1=0
令sinx=t，则问题转化为方程2t²-t+a-1=0在[-1，1]内有一解或两解，
设g（t）=2t²-t+a-1，若方程在[-1，1]内有一个解，则g(-1)g(1)＜0 或

g(-1)=0

g(1)＜0

或

g(1)=0

g(-1)＜0

解得-2≤a＜0
若方程在[-1，1]内有两个解，则

△=(-1)2-8(a-1)≥0

-1≤

1

4

≤1

g(-1)≥0

g(1)≥0

解得0≤a≤

9

8

∴实数a的取值范围是[-2，

9

8

]

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=4sin2π+2x4?sinx+(cosx+sinx)(cosx-sinx)．（1）化简f..”的主要目的是检查您对于考点“高中已知三角函数值求角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中已知三角函数值求角”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：