已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an=1n，f(n)=S2nn=1S2n-Sn-1n≥2．（Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值；（Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an=1n，f(n)=S2nn=1S2n-S..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，通项公式为an=

1

n

，f(n)=

S2n n=1

S2n-Sn-1 n≥2

．
（Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值；
（Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法证明不等式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由已知f(1)=S2=1+

1

2

=

3

2

，f(2)=S4-S1=

1

2

+

1

3

+

1

4

=

13

12

，f(3)=S6-S2=

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

=

19

20

；（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（1）＞1，f（2）＞1；当n≥3时，猜想：f（n）＜1．（4分）
下面用数学归纳法证明：
（1）由（Ⅰ）当n=3时，f（n）＜1；（5分）
（2）假设n=k（k≥3）时，f（n）＜1，即f(k)=

1

k

+

1

k+1

++

1

2k

＜1，那么f(k+1)=

1

k+1

+

1

k+2

++

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

=(

1

k

+

1

k+1

+

1

k+2

++

1

2k

)+

1

2k+1

+

1

2k+2

-

1

k

＜1+(

1

2k+1

-

1

2k

)+(

1

2k+2

-

1

2k

)=1+

2k-(2k+1)

2k(2k+1)

+

2k-(2k+2)

2k(2k+2)

=1-

1

2k(2k+1)

-

1

k(2k+2)

＜1，
所以当n=k+1时，f（n）＜1也成立．由（1）和（2）知，当n≥3时，f（n）＜1．（9分）
所以当n=1，和n=2时，f（n）＞1；当n≥3时，f（n）＜1．（10分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an=1n，f(n)=S2nn=1S2n-S..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法证明不等式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法证明不等式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：