如图，正三棱锥ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=1，D是BC的中点，点P在平面BCC1B1内，PB1=PC1=2．（I）求证：PA1⊥B1C1；（II）求证：PB1∥平面AC1D；（III）求多面体PA1B1DAC1的体积．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，正三棱锥ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=1，D是BC的中点，点P在平..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-03 07:30:00

试题原文

如图，正三棱锥ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=1，D是BC的中点，点P在平面BCC₁B₁内，PB₁=PC₁=

2

．
（I）求证：PA₁⊥B₁C₁；
（II）求证：PB₁∥平面AC₁D；
（III）求多面体PA₁B₁DAC₁的体积．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柱体、椎体、台体的表面积与体积

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（I）取B₁C₁的中点Q，连A₁Q，PQ
∵PB₁=PC₁，A₁B₁=A₁C₁，
∴B₁C₁⊥A₁Q，B₁C₁⊥PQ
∵A₁Q∩PQ=Q
∴B₁C₁⊥平面A₁PQ，∵PA₁?平面A₁PQ
∴PA₁⊥B₁C₁；
（II）连BQ，在△PB₁C₁中，PB₁=PC₁=

2

，B₁C₁=2，Q为中点，∴PQ=1
∵BB₁=AA₁=1
∴BB₁=PQ
在平面PBB₁CC₁中，BB₁⊥B₁C₁，PQ⊥B₁C₁∴BB₁∥PQ
∴四边形BB₁PQ为平行四边形
∴PB₁∥BQ
∵BQ∥DC₁
∴PB₁∥DC₁
∴PB₁∥平面AC₁D；
（III）三棱锥P-A₁B₁C₁的体积为

1

3

?

3

4

?22? 1 =

3

多面体ABD-A₁B₁C₁的体积为

3

4

?22? 1 -

1

3

?

3

8

?22? 1? 2=

2

3

．
∴多面体PA₁B₁DAC₁的体积为

3

+

2

3

=

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，正三棱锥ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=1，D是BC的中点，点P在平..”的主要目的是检查您对于考点“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”。

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