一个正三棱柱有一个内切球（球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切）和一个外接球（球经过三棱柱的六个顶点），则此内切球、外接球与正三棱柱三个几何体的表面积之比为1：_____

1、试题题目：一个正三棱柱有一个内切球（球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-03 07:30:00

试题原文

一个正三棱柱有一个内切球（球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切）和一个外接球（球经过三棱柱的六个顶点），则此内切球、外接球与正三棱柱三个几何体的表面积之比为1：______：______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柱体、椎体、台体的表面积与体积

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设正三棱柱底面正三角形的边长为a，其内切球的半径为R
当球外切于正三棱柱时，球的半径R等于正三棱柱的底面正三角形的重心到对边的距离即R=

3

a，到相对棱的距离是

2

3

a
又正三棱柱的高是其内切球半径的2倍，故正三棱柱的高为

2

3

a，
球外接正三棱柱时，球的球心是正三棱柱高的中点，且球的球心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，顶点在底面上的投影恰好是底面三角形的重心到顶点的距离

2

3

a，棱锥的高为

3

a
故正三棱锥外接球的半径满足 R22=(

2

3

a)2+(

3

a)2=

5

3

a2，
三棱柱的表面积为：2×

3

4

a2+3a×

2

3

a=

5

3

2

a2
∴内切球、外接球与正三棱柱三个几何体的表面积之比4（π

1

3

a2）：（4π

5

3

a2）：

5

3

2

a2=R²：R₂²=1：5：

9

3

2π

．

故答案为：5；

9

3

2π

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“一个正三棱柱有一个内切球（球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切..”的主要目的是检查您对于考点“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”。

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