有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a是圆锥的全面积，a′是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值．-数学试题及答案

1、试题题目：有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a是圆锥的全面积..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-03 07:30:00

试题原文

有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a是圆锥的全面积，a′是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柱体、椎体、台体的表面积与体积

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设圆锥的高为h，底面半径为R，母线长为L，
则

a

a′

=

πR(R+L)

2πR(R+h)

=

R+L

2(R+h)

，
∴2a（R+h）=a'（R+L）．
由R=

L2-h2

，代入可得
2a(

L2-h2

+h)=a′(

L2-h2

+L)，
（2a-a'）

L2-h2

=a'L-2ah．
两边同除以L，可得
（2a-a'）

1-(

h

L

)2

=a′-2a

h

L

．
等式两边平方，
(4a2-4a′a+a′2)[1-(

h

L

)2]=a′2-4aa′?

h

L

+4a2(

h

L

)2，
(8a2-4aa′+a′2)(

h

L

)2-4aa′

h

L

+(4aa′+a′2)=0．
这个关于

h

L

的一元二次方程的判别式
△=（-4aa'）²-4（8a²-4aa'+a'²）（4aa'+a'²）=16a（2a-a'）³＞0，
∴该一元二次方程有二个实根，此二实根即圆锥的高与母线的比：

h

L

=

4aa′±

16a(2a-a′)3

2(8a2-4aa′+a′2)

=

4aa′±4(2a-a′)

a(2a-a′)

2[4a2+(2a-a′)2]

=

2aa′±2(2a-a′)

a(2a-a′)

4a2+(2a-a′)2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a是圆锥的全面积..”的主要目的是检查您对于考点“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”。

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