已知直线l：y=x+6，圆O：x2+y2=5，椭圆E：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=33，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线-数学试题及答案

1、试题题目：已知直线l：y=x+6，圆O：x2+y2=5，椭圆E：y2a2+x2b2=1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知直线l：y=x+

6

，圆O：x²+y²=5，椭圆E：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值．

试题来源：菏泽一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设椭圆半焦距为c，圆心O到l的距离d=

6

2

=

3

，
∴直线l被圆O截得的弦长为2

(

5

)2-(

3

)2

=2

5-3

=2

2

，
由2b=2

2

，解得b=

2

，
∵椭圆E：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

，
∴

c

a

=

3

∴

a2-2

a2

=

1

3

，解得a²=3
∴椭圆E的方程为

y2

3

+

x2

2

=1；
（Ⅱ）证明：设P（x₀，y₀），过点P的椭圆E的切线l₀的方程为y-y₀=k（x-x₀）
与椭圆方程联立，消去y可得（3+2k²）x²+4k（y₀-kx₀）x+2（kx₀-y₀）²-6=0
∴△=[4k（y₀-kx₀）]²-4（3+2k²）[2（kx₀-y₀）²-6]=0
∴（2-x02）k²+2kx₀y₀-（y02-3）=0
设满足题意的椭圆的两条切线的斜率分别为k₁，k₂，
∴k₁k₂=-

y02-3

2-x02

∵P在圆O上，∴x02+y02=5，
∴k₁k₂=-

y02-3

2-x02

=-1
∴两切线斜率之积为定值-1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知直线l：y=x+6，圆O：x2+y2=5，椭圆E：y2a2+x2b2=1..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：