设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线．（I）求椭圆的方程；（II）过定点M（m，0）（-2＜m＜2，m≠0为常数）作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆交于不同的两点A．B-数学试题及答案

1、试题题目：设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长半轴的长等于焦距，且x=4为它..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线．
（I）求椭圆的方程；
（II）过定点M（m，0）（-2＜m＜2，m≠0为常数）作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆交于不同的两点A．B，问在x轴上是否存在一点N，使直线NA与NB的倾斜角互补？若存在，求出N点坐标，若不存在，请说明理由．

试题来源：河南模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）依题意得

a=2c

a2

c

=4

解之得

a=2

c=1

从而b=

3

．
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1． …（4分）
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-m），
联立方程得

x2

4

+

y2

3

=1

y=k(x-m)

消去y得（3+4k²）x²-8mk²x+4k²m²-12=0，…（6分）
∵△=64m²k⁴-16（k²m²-3）（3+4k²）=48k²（4-m²）+144＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（n，0），
则x1+x2=

8mk2

3+4k2

，x1x2=

4k2m2-12

3+4k2

，（*）
因为直线NA与NB的倾斜角互补等价于k_NA+k_NB=0，…（8分）
所以

y1

x1-n

+

y2

x2-n

=0，即

k(x1-m)

x1-n

+

k(x2-m)

x2-n

=0，…（9分）
即2x₁x₂-（m+n）（x₁+x₂）+2mn=0，
将（*）式代入上式得

8m2k2-24

3+4k2

-

(m+n)×8mk2

3+4k2

+2mn=0，
整理得mn=4，∵m≠0，∴n=

4

m

，所以，N点存在，且坐标为(

4

m

，0)，
因此，存在点N(

4

m

，0)使得直线NA与NB的倾斜角互补． …（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长半轴的长等于焦距，且x=4为它..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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