已知一条抛物线和一个椭圆都经过点M（1，2），它们在x轴上具有相同的焦点F1，且两者的对称轴都是坐标轴，抛物线的顶点在坐标原点．（1）求抛物线的方程和椭圆方程；（2）假设椭圆的-数学试题及答案

1、试题题目：已知一条抛物线和一个椭圆都经过点M（1，2），它们在x轴上具有相同..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知一条抛物线和一个椭圆都经过点M（1，2），它们在x轴上具有相同的焦点F₁，且两者的对称轴都是坐标轴，抛物线的顶点在坐标原点．
（1）求抛物线的方程和椭圆方程；
（2）假设椭圆的另一个焦点是F₂，经过F₂的直线l与抛物线交于P，Q两点，且满足

F2P

=m

F2Q

，求m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意可设抛物线方程为y²=2px（p＞0），
把M（1，2）点代入方程得：抛物线方程为y²=4x…（2分）
所以F₁（1，0），
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵椭圆经过点M，椭圆的焦点F₁（1，0），
∴

a2-b2=1

1

a2

+

4

b2

=1

∴a2=3+2

2

，b2=2+2

2

，
∴椭圆方程为

x2

3+2

2

+

y2

2+2

2

=1…（6分）
（2）椭圆的焦点F₁（1，0），另一个焦点为F₂（-1，0），
设直线的方程为y=k（x+1），联立方程得

y=k(x+1)

y2=4x

，
消去y得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
因为直线l与抛物线相交于P、Q两点，所以

k≠0

(2k2-4)2-4k2＞0

，解得-1＜k＜1且k≠0…（9分）
设P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂），则

x1+x2=

4-2k2

k2

x1?x2=1

，
由

F2P

=m

F2Q

得（x₁+1，y₁）=m（x₂+1，y₂），所以

x1+1=m(x2+1)

y1=my2

，
∵P、Q为不同的两点，∴m≠1，y12=m2y22，
即4x1=m2?4x2，∴x1=m2x2
解得x2=

1

m

，x1=m，
∴x1+x2=

1

m

+m…（12分）
即

1

m

+m=

4

k2

-2，
∵0＜k²＜1，
∴

4

k2

-2＞2，即

1

m

+m＞2
∴m＞0且m≠1…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知一条抛物线和一个椭圆都经过点M（1，2），它们在x轴上具有相同..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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