已知离心率为32的椭圆C1的顶点A1，A2恰好是双曲线x23-y2=1的左右焦点，点P是椭圆上不同于A1，A2的任意一点，设直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）试-数学试题及答案

1、试题题目：已知离心率为32的椭圆C1的顶点A1，A2恰好是双曲线x23-y2=1的左右..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知离心率为

3

2

的椭圆C₁的顶点A₁，A₂恰好是双曲线

x2

3

-y2=1的左右焦点，点P是椭圆上不同于A₁，A₂的任意一点，设直线PA₁，PA₂的斜率分别为k₁，k₂．
（Ⅰ）求椭圆C₁的标准方程；
（Ⅱ）试判断k₁?k₂的值是否与点P的位置有关，并证明你的结论；
（Ⅲ）当k1=

1

2

时，圆C₂：x²+y²-2mx=0被直线PA₂截得弦长为

4

5

，求实数m的值．
设计意图：考察直线上两点的斜率公式、直线与圆相交、垂径定理、双曲线与椭圆的几何性质等知识，考察学生用待定系数法求椭圆方程等解析几何的基本思想与运算能力、探究能力和推理能力．第（Ⅱ）改编自人教社选修2-1教材P39例3．

试题来源：韶关一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）双曲线

x2

3

-y2=1的左右焦点为（±2，0）
即A₁，A₂的坐标分别为（-2，0），（2，0）．（1分）
所以设椭圆C₁的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则a=2，（2分）
且e=

c

a

=

3

2

，所以c=

3

，从而b²=a²-c²=1，（4分）
所以椭圆C₁的标准方程为

x2

4

+

y2

1

=1．（5分）

（Ⅱ）设P（x₀，y₀）则

x02

4

+

y02

1

=1，即y02=1-

x02

4

=

4-x02

4

（6分）
k1?k2=

y0-0

x0-(-2)

?

y0-0

x0-2

=

y02

x02-4

=-

1

4

．（8分）
所以k₁?k₂的值与点P的位置无关，恒为-

1

4

．（9分）

（Ⅲ）由圆C₂：x²+y²-2mx=0得（x-m）²+y²=m²，
其圆心为C₂（m，0），半径为|m|，（10分）
由（Ⅱ）知当k1=

1

2

时，k2=-

1

2

，
故直线PA₂的方程为y=-

1

2

(x-2)即x+2y-2=0，（11分）
所以圆心为C₂（m，0）到直线PA₂的距离为d=

|m+2×0-2|

12+22

=

|m-2|

5

，
又由已知圆C₂：x²+y²-2mx=0被直线PA₂截得弦长为

4

5

及垂径定理得
圆心C₂（m，0）到直线PA₂的距离d=

m2-(

2

5

)2

，
所以

m2-(

2

5

)2

=

|m-2|

5

，即m²+m-2=0，解得m=-2或m=1．（13分）
所以实数m的值为1或-2．（14分）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知离心率为32的椭圆C1的顶点A1，A2恰好是双曲线x23-y2=1的左右..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：