已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左顶点和右焦点分别为A，F，右准线为直线m，圆D：x2+y2-6y-4=0．（1）若点A在圆D上，且椭圆C的离心率为32，求椭圆C的方程；（2）若直线m上存在点Q，-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左顶点和右焦点分别为A，F..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左顶点和右焦点分别为A，F，右准线为直线m，圆D：x²+y²-6y-4=0．
（1）若点A在圆D上，且椭圆C的离心率为

3

2

，求椭圆C的方程；
（2）若直线m上存在点Q，使△AFQ为等腰三角形，求椭圆C的离心率的取值范围；
（3）若点P在（1）中的椭圆C上，且过点P可作圆D的两条切线，切点分别为M、N，求弦长MN的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）对x²+y²-6y-4=0，令y=0，则x=±2．
所以，A（-2，0），a=2（2分）
又因为，e=

c

a

=

3

2

，
所以，c=

3

，（3分）
b²=a²-c²=1（4分）
所以，椭圆C的方程为：

x2

4

+y2=1．（5分）
（2）由图知△AFQ为等腰三角形a+c=AF=QF＞

a2

c

-c（7分）
所以，2c²+ac-a²＞0，2e²+e-1＞0，（2e-1）（e+1）＞0
又0＜e＜1，
所以

1

2

＜e＜1，即椭圆离心率取值范围为(

1

2

，1)．（10分）
（3）连PD交MN于H，连DM，则由圆的几何性质知：H为MN的中点，DM⊥PM，MN⊥PD．
所以，MN=2MH=

2MD?MP

PD

=

2MD

PD2-MD2

PD

=2MD?

1-

MD2

PD2

⊙D：x²+（y-3）²=13，MD=

13

所以，MN=2

13

?

1-

13

PD2

（13分）
设P（x₀，y₀），则

x02

4

+y02=1且-1≤y₀＜0
所以，PD²=x₀²+（y₀-3）²=-3y₀²-6y₀²+13=-3（y₀+1）²+16（-1≤y₀＜0）
所以，13＜PD²≤16（15分）
所以，O＜MN≤

39

2

．（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左顶点和右焦点分别为A，F..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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