已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn=12（1-an）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn=nan，求证：b1+b2+…+bn＜34．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn=12（1-an）．（1）求数列{an}..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-06 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足S_n=

1

2

（1-a_n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=na_n，求证：b₁+b₂+…+b_n＜

3

4

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵S_n=

1

2

（1-a_n），∴n≥2时，S_n-1=

1

2

（1-a_n-1）．
两式相减可得a_n=

1

2

（a_n-1-a_n），∴

an

an-1

=

1

3

∵n=1时，a₁=S₁=

1

2

（1-a₁），∴a₁=

1

3

∴数列{a_n}是以

1

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列
∴a_n=

1

3

?(

1

3

)n-1=(

1

3

)n；
（2）证明：b_n=na_n=n?(

1

3

)n
令T_n=b₁+b₂+…+b_n，即T_n=1?

1

3

+2?(

1

3

)2+…+n?(

1

3

)n
∴

1

3

T_n=1?(

1

3

)2+2?(

1

3

)3+…+（n-1）?(

1

3

)n+n?(

1

3

)n+1
两式相减可得

2

3

T_n=1?

1

3

+1?(

1

3

)2+1?(

1

3

)3+…+1?(

1

3

)n-n?(

1

3

)n+1=

1

3

[1-(

1

3

)n]

1-

1

3

-n?(

1

3

)n+1=

1-(

1

3

)n

2

-n?(

1

3

)n+1
∴T_n=

3[1-(

1

3

)n]

4

-

3n

2

?(

1

3

)n+1，
∴T_n＜

3

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn=12（1-an）．（1）求数列{an}..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：