已知数列{an}满足a1=4，an+1=an+p?3n+1（n∈N*，p为常数），a1，a2+6，a3成等差数列．（Ⅰ）求p的值及数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}满足bn=n2an-n，证明：bn≤49．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足a1=4，an+1=an+p?3n+1（n∈N*，p为常数），a1，a2+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-07 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a₁=4，an+1=an+p?3n+1（n∈N^*，p为常数），a₁，a₂+6，a₃成等差数列．
（Ⅰ）求p的值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足bn=

n2

an-n

，证明：bn≤

4

9

．

试题来源：临沂二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）因为a₁=4，an+1=an+p?3n+1，
所以a2=a1+p?31+1=3p+5；a3=a2+p?32+1=12p+6．
因为a₁，a₂+6，a₃成等差数列，所以2（a₂+6）=a₁+a₃，
即6p+10+12=4+12p+6，所以p=2．
依题意，an+1=an+2?3n+1，
所以当n≥2时，a2-a1=2?31+1，a3-a2=2?32+1，
…an-1-an-2=2?3n-2+1，an-an-1=2?3n-1+1．
相加得an-a1=2(3n-1+3n-2+…+32+3)+n-1，
所以an-a1=2

3(1-3n-1)

1-3

+(n-1)，
所以an=3n+n．
当n=1时，a1=31+1=4成立，
所以an=3n+n．
（Ⅱ）证明：因为an=3n+n，所以bn=

n2

(3n+n)-n

=

n2

3 n

．
因为bn+1-bn=

(n+1)2

3n+1

-

n2

3n

=

-2n2+2n+1

3n+1

，（n∈N^*）．
若-2n²+2n+1＜0，则n＞

1+

3

2

，即n≥2时，b_n+1＜b_n．
又因为b1=

1

3

，b2=

4

9

，所以bn≤

4

9

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a1=4，an+1=an+p?3n+1（n∈N*，p为常数），a1，a2+..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

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